Proszę o pomoc :) Romulus: Po wieloletnich obserwacjach zauważono, że w okresie skupu truskawek liczba ton dostarczonych owoców w poszczególnych dniach wyraża się wzorem an = −n² + 20m, gdzie N należy do N⁺ oznacza kolejny dzień skupu. W którym dniu skupu dostawa była największa i ile dni trwał skup? proszę o pomoc.. w ogóle nie wiem jak zabrać się za to zadanie. z góry bardzo dziękuje

Gustlik: Chyba a_n=−n²+20n Traktować ciągi jak funkcje, każdemu to mówię, tak samo apeluję do Was, forumowicze, czego niestety unikają nauczyciele, n to x, a_n to y albo f(x), tylko D=N₊, a nie R. Z własności odpowiedniej funkcji często możemy odczytać własności ciągu, np. monotoniczność, największą wartość itp. Tu mamy funkcję kwadratową y=−x²+20x, tylko D=N₊ A więc największa dostawa to największa wartość funkcji, czyli q ton truskawek w p−tym dniu trwania skupu − funkcja kwadratowa osiąga ekstremum zawsze w wierzchołku paraboli.

	−b		−20
p=		=		=10
	2a		−2

q=f(p)=−10²+20*10=−100*200=100 A więc największa liczba ton truskawek to 100 − dostawa była w 10 dniu. Ile dni trwał skup? Tyle, ile trwały dostawy, a więc kiedy a_n>0. −n²+20n>0 −n(n−20)>0 n=0 nie spełnia założeń v n=20 − w 20 dniu dostawy były =0 A więc n€(0, 20) i n€N₊, czyli n€{1, 2, 3, ..., 19}. Skup trwał 19 dni.

Romulus: Dokładnie a_n=−n²+20n Nie wiedziałem że ciągi można traktować jak funkcje. dzięki wielkie Gustlik za rozwiązanie

Mateusz: Ciągi to są funkcje tyle ze ich dziedziną jest zbior N⁺

Gustlik: Masz rację, Mateusz, tylko dla nauczycieli w szkołach porównanie ciągów do funkcji kończy się na podaniu definicji, natomiast podczas rozwiązywania zadań ani słowa o tym. Dlatego Romulus, jak większość uczniów, nie wiedział, że ciągi można traktować jak funkcje. A to baaardzo źle. Matma jest w szkolach beznadziejnie nauczana − w większości zadania są rozwiązywane jak najdłuższą drogą, wyglada to tak, jak jazda z Warszawy do Łodzi przez Nowy Jork. Pozdrawiam.*****

Gustlik: Cieszę się, ze zrozumiałeś zadanie, Romulus

Mateusz: Masz racje Gustlik widze to takze z innych przedmiotów a dlaczego uczniowie tak nienawidzą chemii czy fizyki(zaraz po matematyce) bo nauczyciele dają zadania z mnostwem rachunków gdzie uczniowie nawet nie rozumieją co skąd sie wzieło(bo nie poznali dobrze teorii) akurat te dwa przedmioty to przede wszystkim doswiadczenia a takowych juz sie nie przeprowadza na lekcjach bo mało godzin a z programem trzeba gonic i w konsekwencji tego uczen jezeli ma daną reakcje syntezy A+B→AB ma kłopot z zapisaniem rownania reakcji rozkładu czyli AB→A+B smutne to ale prawdziwe miałem takie przypadki na korkach. Jeszcze co do ciągów miałem kiedys przypadek ze uczennica na korkach miała zadanie z matmy własnie z ciągów miała zbadac monotonicznosc ciągu o wzorze 4n−5 i robiła to standardowo badając roznicę a_n+1−a_n gdzie popełniła błąd rachunkowy i dlatego jej nie wychodziło i wtedy przypomniały mi sie mysli za czasów szkoły sredniej kiedy ja tez to przerabiałem gdzie mając podobne ciągi jak ten co napisałem widziałem w nich po prostu funkcje liniową ale wtedy do głowy mi nie przyszło zeby badac jego monotonicznosc analogicznie jak monotonicznosc funkcji liniowej no ale postanowiłem spróbowac wiemy ze funkcja postaci y=ax+b jest rosnaca gdy a>0 a malejąca gdy a<0 stała gdy a=0 no i sposobem a_n+1−a_n wyszło to samo jak porownaniem wspołczynnika a sprawdziłem potem sam dla kilku ciągów takiej postaci i zawsze trafnie okreslałem monotonicznosc bez rachunków to ma zalety bo metoda z funkcją liniową jest szybsza i zaoszczędza czasu poza tym nie kwestionując ze ciągi takiej postaci to funkcja liniowa ale jak wiadomo dziedziną jest zbiór N₊ .Ale to chyba wina tej tzw wielkiej reformy jak ja zdawałem mature w 1997 to była jeszcze nawet indukacja matematyczna a matura na poziomie podstawowym była o wiele trudniejsza niz ta dzisiejsza na tym samym poziomie i dzięki temu na I roku studiow miałem własciwie powtorke pochodne, liczby zespolone,macierze badanie przebiegu zmiennosci funkcji, grance ciągów,współrzędne biegunowe i wiele innych a dzis nawet na maturze rozszerzonej juz tej indukcji nie ma nie mowiąc juz o pochodnych itp nie wiem jak w szkole sredniej na profilu matematycznym. Ale nic chyba na to nie poradzimy,Rowniez pozdrawiam.

Gustlik: Ja też tak robię − ciąg arytmetyczny to po prostu funkcja liniowa z D=N₊. Każdemu uczniowi pokazuję to podobieństwo, a różnica jest równa współczynnikowi kierunkowemu prostej (r=a). Podobnie ciąg geometryczny o dodatnim ilorazie jest funkcja wykladnicza określoną na D=N₊. Ja zdawałem maturę w 1988 r. rozszerzoną (LO profil mat.−fiz.), a za moich czasów profil podstawowy miał trudniejsze zadania z matmy niż dzisiaj mat.−fiz., nawet u nich były pochodne, całki i badanie przebiegu funkcji. Okrojono materiał i zrobiono to w głupi sposób. Np. wielomiany: schemat Hornera, twierdzenie Bezout i dzielenie wielomianów dali na rozszerzenie, a zwijanie wielomianów wzorami skróconego mnożenia na trzecie potęgi, co jest dla wielu osób trudniejsze od schematu Hornera, jest na podstawach. Mało który uczeń zauważy, że np. x³−6x²+12x−8=(x−2)³. Zobaczy wielomian, który ma niedopasowane współczynniki i nie da się np. pogrupować i zgłupieje, bo nie będzie wiedział, co zrobić. Gdyby znał twierdzenie Bezout i schemat Hornera, to miałby "awaryjną" metodę i rozłożyłby ten wielomian na czynniki. Druga sprawa − wektory: co to za problem w obliczeniu dwóch współrzędnych? Trzeba wykonać dwa odejmowania i cześć pieśni. Zrobiłby to uczeń podstawówki, bo wystarczy tylko znać odejmowanie. A wektory znacznie ułatwiają życie w geometrii analitycznej. Robiłem niedawno z jedną uczennicą zadanie, gdzie trzeba były dane współrzędne trzech wierzchołków równoległoboku i trzeba było obliczyć współrzędne czwartego wierzchołka. Metodą "wektorową" to zadanie jest do rozwiązania w 1 minutę, mamy tylko dwa prościutkie równanka jedno z niewiadomą x, a drugie z niewiadomą y, a pani nauczycielka robila to układając równania prostych zawierających boki równoległoboku i rozwiązując układy równań. Do tego rownania prostych też wyznaczała ukladami równań mimo istnienia prostszych metod. Chyba z pięc układów równan do jednego zadania. Pani pokazała uczniom drogę NAJDŁUŻSZĄ Z MOŻLIWYCH. Inny przykład z książki "Matematyka − prosto do matury" do kl. 1 LO wydawnictwa Nowa Era: Zadanie było mniej więcej następującej treści (liczb nie pamiętam, podam przykładowe): znajdź współczynniki funkcji kwadratowej y=ax²+bx+c wiedząc, że współrzędne wierzchołka wynoszą W=(2, 4), a do paraboli należy punkt A=(3, 5). Autorzy książki rozwiązali to układem trzech równań z trzema niewiadomymi:

	−b
{		=2 ← ze wzoru na p
	2a

{a*2²+b*2+c=4 ← podstawili współrzędne wierzchołka W {a*3²+b*3c=5 ← podstawili współrzędne punktu A. Tymczasem to zadanie można było rozwiązać za pomocą równania z JEDNĄ NIEWIADOMĄ wykorzystując postać kanoniczną funkcji kwadratowej omówioną w tej książce wcześniej. Czyli: y=a(x−2)²+4 Potem podstawić współrzędne A: 5=a(3−2)²+4 i rozwiązać to równanie, obliczony współrzynnik a wstawić do wzoru kanonicznego i potem "gotowy" wzór kanoniczny rozpisać do postaci ogólnej i odczytać wspólczynniki a, b i c. Metody porównywalne z jazdą z Warszawy do Łodzi okrążając Ziemię po równiku.

Mateusz: No w tym zadaniu z funkcja kwadratową z tym układem rownan to troche przegieli faktycznie zeby pzrynajmniej pokazali II sposob czyli ten z podstawieniem wspołrzędnych punktu A do rownania w postaci kanonicznej

Gustlik: I tak przeginają prawie wszyscy nauczyciele − im dłuższa droga, tym dla nich lepiej. A uczniowie się motają, bo nie wiedzą, o co chodzi w zadaniu.******

WSP: super metoda nawet nie widziałem ze tak mozna:

Mateusz: Przyznam szczerze ze nawet bym nie wpadł zeby to zadanie z f kwadratową rozwiązac za pomocą ukłądu rownan trzeba przyznac pomysłowosc autorów